KONFORMAL-BÜKÜLMÜŞ VE ÇARPIK-BÜKÜLMÜŞ ÇARPIM MANİFOLDLAR VE ALTMANİFOLDLAR
Tez Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: İstanbul Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Türkiye
Tez Danışmanı: Hakan Mete Taştan
Tezin Onay Tarihi: 2021
Tezin Dili: Türkçe
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Desteklendiği Program: Diğer
Özet:
Bu tez çalışmasının amacı, konformal-bükülmüş ve çarpık-bükülmüş manifoldların geometrisini incelemektir. Bu tip manifoldlar global konformal Kaehler manifoldların altmanifoldu olarak ele alınmış ve Einstein-benzeri çarpık-bükülmüş çarpım manifoldlar incelenmiştir.
Bu çalışma beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tez çalışmasının literatürdeki geçmişinden yani bu konu ile alakalı araştırmacıların daha önce yaptığı çalışmalardan bahsedilmiştir.
İkinci bölüm beş alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde Riemanniyen manifold tanımı, bir Riemanniyen manifold üzerinde tanımlı temel tensörlerin tanımı ve Einstein-like Riemanniyen manifoldların farklı sınıflarının tanımları verilmiştir. İkinci alt bölümde Riemanniyen manifoldların altmanifoldu kavramı ve sağladığı özellikler ile altmanifold ile kapsayan manifold arasındaki ilişkiyi kuran Gauss, Weingarten gibi temel denklemler verilmiştir. Üçüncü alt bölümde hemen hemen Hermityen manifoldun, Kaehleriyen manifoldun tanımı ve bu tip manifoldların temel özellikleri verilmiştir. Bunun yanısıra, hemen hemen Hermityen manifoldların holomorfik, tümel reel, eğik, yarı-eğik, kısmi-eğik gibi bazı özel altmanifoldları tanıtılmıştır. Dördüncü alt bölümde, global ve yerel konformal Kaehler manifoldların tanımları ve bu manifoldlar için geçerli olan temel teorem ve denklemler verilmiştir. Beşinci alt bölümde çift bükülmüş çarpım manifoldun tanımı ve bazı özel hallerini karakterize eden bir teorem yer almıştır. Ayrıca çift çarpık çarpım manifoldların kovaryant türev formülleri verilmiştir.
Üçüncü bölümde tez çalışmasının hazırlanmasında izlenen yöntemlerden ve kullanılan araçlardan bahsedilmiştir.
Dördüncü bölüm ise tez çalışmasının bulgularından oluşmaktadır. Bu bölüm iki alt bölümden oluşmaktadır. Birinci ve ikinci alt bölümde konformal-bükülmüş çarpım manifold, çarpık-bükülmüş çarpım manifold, bir global konformal Kaehler manifoldun bir yarı-eğik altmanifoldu, bir global konformal Kaehler manifoldun bir kısmi-eğik altmanifoldu tanımları ve bu tip altmanifoldların sağladığı temel denklemler ve teoremler verilmiştir. Ayrıca, bir g.k.K. manifoldun bir konformal-bükülmüş çarpım ve çarpık-bükülmüş çarpım altmanifoldu için aşikar olmayan birer örnek kurulmuştur. Bir g.k.K. manifoldunun sırası ile, bir has yarı-eğik altmanifoldunun yerel olarak bir konformal-bükülmüş çarpım manifold olması için ve bir has kısmi-eğik altmanifoldunun yerel olarak bir çarpık-bükülmüş çarpım manifold olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Bunun yanı sıra, konformal-bükülmüş çarpım altmanifoldun ve çarpık-bükülmüş çarpım altmanifoldunun ikinci temel formunun normunun karesi için bir eşitsizlik kurulmuştur. Dahası, Einstein-benzeri çarpık-bükülmüş çarpım manifoldunun çarpan manifoldlarının da Einstein-benzeri manifold olması için gerek ve yeter koşullar verilmiştir ve Einstein-benzeri çarpık-bükülmüş çarpım manifoldların farklı sınıfları karakterize edilmiştir. Tersine, çarpan manifoldları Einstein-benzeri manifold olan manifoldların kendisinin de Einstein-benzeri olup olmaması durumu da incelenmiştir.
Beşinci bölümde, tez çalışmasının genel bir değerlendirmesi yapılmış ve çalışmanın literatüre katkısından bahsedilmiştir. Ayrıca, bu çalışmadan hareketle hangi çalışmaların yapılabileceği üzerinde durulmuştur.